Robot điêu khắc: vì sao chạm tới một điểm chưa đủ để tạo hình ở đó?

Một đầu mút chạm đúng điểm chưa chắc đã đặt được đúng hướng; cả cánh tay còn có thể vướng một vật nằm xa điểm ấy. Khi tìm hiểu robot điêu khắc, ta có thể thấy rõ khác biệt này bằng hai dải giấy có khoảng tâm 8 và 5 cm. Bài dưới đây dựng vùng với tới, tìm hai cách đặt khớp giữa, rồi thử một yêu cầu hướng và một hình cản. Các số đều giả định, chỉ dùng cho bài hình học trên giấy.

Đặt câu hỏi về một điểm cần chạm trên hình

Hãy tưởng tượng cần đưa một đầu mút tới chỗ bàn tay gặp cán gậy trên một hình người chơi golf. Ta có thể gọi tên chỗ ấy trước khi biết cơ cấu nào sẽ tiếp cận nó. Yêu cầu đầu tiên là vị trí. Nếu thêm điều kiện đầu mút phải hướng từ trái sang phải, bài toán đã có thêm một yêu cầu mà khoảng cách tới điểm đích chưa mô tả được.

Nhân vật trắng đỏ dưới đây gợi dáng robot nhưng chưa cho biết cơ cấu bên trong. Bài giấy nghiên cứu một tay máy tưởng tượng riêng, dùng để đưa đầu mút tới điểm tạo hình.

Một hình trang trí mang dáng robot chưa cho biết có cơ cấu hoạt động bên trong. Bài giấy nghiên cứu vị trí của một cơ cấu tưởng tượng riêng. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Bốn ảnh từ Mô Hình Điêu Khắc giúp đặt câu hỏi về hình và vị trí tiếp cận. Riêng ảnh thiết bị cùng phôi hoa văn chỉ cung cấp bối cảnh xưởng. Không thể từ ảnh ấy suy ra máy có hai khâu, bao nhiêu trục hoặc một chế độ làm việc cụ thể. Cơ cấu sắp vẽ được định nghĩa riêng bằng các điểm O, E và T.

Thiết bị và phôi hoa văn đặt ra câu hỏi về vùng tiếp cận khi tạo hình. Ảnh không được dùng để gọi máy này là tay máy hai khâu hoặc xác nhận số trục. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Đích của bài là một trang giấy có thể tự kiểm: vùng đầu mút đến được, hai chỗ đặt khớp giữa và lý do một yêu cầu hướng bị loại. Ta sẽ giữ nguyên gốc và chiều dài trong mọi phép thử. Nhờ vậy, khi kết quả thay đổi, người đọc biết điều kiện nào vừa được thêm vào, thay vì vô tình đổi cả cơ cấu để có đáp án thuận tiện.

Đo hai khâu từ tâm dấu và giữ gốc cố định

Chuẩn bị giấy kẻ ô, bút, thước và hai dải giấy. Có thể dùng compa để dựng đường tròn hoặc chỉ vẽ hai đoạn thẳng theo số đo. Trên dải thứ nhất, đánh dấu O và E cách nhau 8 cm. Trên dải thứ hai, đánh dấu E và T cách nhau 5 cm. Đầu giấy có thể thừa ra ngoài dấu; chiều dài cần giữ là khoảng cách giữa hai tâm dấu.

Đặt hai dấu E trùng nhau. Giữ O tại một điểm trên bàn giấy, xoay hai dải bằng tay và quan sát T. Không cần ghim nhọn hay thiết bị chạy điện. Nếu vẽ lại nhiều tư thế bằng thước, mỗi lần đều kiểm OE bằng 8 cm và ET bằng 5 cm. Một nét chấm ở đầu dải dễ đọc hơn việc lấy một góc mép giấy làm khớp rồi đổi góc ấy giữa chừng.

Trong mô hình, O là khớp gốc cố định, E là khớp giữa, T là đầu mút được coi như một điểm. Hai khâu thẳng, cứng và không đổi chiều dài. Cả hai khớp được phép quay trọn vòng. Trước khi thêm vật cản, ta cho hai dải chồng hình chiếu lên nhau, kể cả khi gập về phía gốc. Các đoạn tâm được xem như không có bề rộng.

Trang Design Constraints của Carnegie Mellon phân biệt vùng làm việc lý thuyết với cơ cấu có giới hạn khớp, đồng thời đo chiều dài giữa các trục. Bài giấy dùng riêng bộ số 8 và 5 cm cùng giả định quay tự do; không dùng kích thước hay giới hạn của thiết bị trong tài liệu.

Vẽ trục x sang phải, trục y lên trên, với O tại (0; 0). Một tọa độ như (9; 0) nghĩa là đi ngang 9 cm từ O, không đi lên hoặc xuống. Viết đơn vị cm cạnh hình ngay từ đầu. Nếu dịch gốc O để đầu mút gần đích hơn, bạn đang xét một bố trí khác; kết quả mới không thể được ghi là lời giải của bố trí ban đầu.

Hiểu vì sao điểm quá gần gốc cũng không tới được

Hai biên tạo thành một vành tròn

Duỗi hai đoạn cùng hướng, O, E và T nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Khoảng cách OT bằng 8 + 5 = 13 cm. Đây là khoảng xa nhất của T. Khi gập đoạn ET ngược hẳn về phía O, đoạn dài hơn vẫn còn dư 8 − 5 = 3 cm. Vì hai khâu dài khác nhau, T không về trùng O dù bạn gập hết trong mô hình.

Gọi r là khoảng cách OT. Khi 3 nhỏ hơn r và r nhỏ hơn 13, ba đoạn dài 8, 5 và r ghép được thành tam giác. Góc gập ở E thay đổi sẽ cho các khoảng cách giữa hai đầu còn lại. Cả tam giác có thể quay quanh O do khớp gốc quay tự do. Vì vậy, cùng một khoảng r đạt được ở mọi hướng quanh gốc.

Vùng điểm đến của T là vành nằm giữa hai đường tròn đồng tâm O, bán kính 3 và 13 cm, kể cả hai đường biên. Phần tròn ở giữa có bán kính nhỏ hơn 3 cm phải để trắng. Nếu chỉ tô toàn bộ đĩa bán kính 13 cm, bản đồ đã đánh dấu nhầm những điểm mà đầu mút không thể tới.

Thử ba điểm trên cùng một trục

Đánh dấu P tại (2; 0), T tại (9; 0) và Q tại (14; 0). P gần O nhưng nằm trong khoảng trống ở giữa nên bị loại. Q ở ngoài tầm duỗi 13 cm nên cũng bị loại. T cách O 9 cm nằm trong vành và có thể đạt. Việc 8 + 5 lớn hơn 2 không cứu được P, vì tổng chiều dài mới chỉ kiểm phía ngoài.

Ở khoảng cách đúng 3 hoặc đúng 13 cm, ba điểm thẳng hàng. Hai trường hợp biên này thuộc lời giải hình học lý tưởng, không phải đề nghị đưa máy thật tới hết tầm. Cũng cần nhớ vành tròn nói về T: một vị trí có thể nằm trên đoạn OE ở đâu đó nhưng vẫn không thể là vị trí đầu mút. Không tô mọi chỗ dải giấy đi qua thành vùng của T.

Dựng hai chỗ đặt khuỷu cho cùng một điểm đích

Giữ T tại (9; 0). E phải thỏa đồng thời hai việc: cách O đúng 8 cm và cách T đúng 5 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 8 cm, rồi đường tròn tâm T bán kính 5 cm. Hai giao điểm chính là hai nơi có thể đặt E. Gọi giao điểm phía trên trục x là E+, phía dưới là E−; dấu cộng, trừ chỉ vị trí trong bản vẽ.

Nối O với E+, rồi E+ với T. Sau đó dùng nét khác nối O với E−, rồi E− với T. Bạn có hai đường gấp khúc chung hai đầu O và T. Cả hai đều dùng một khâu dài 8 và một khâu dài 5, nhưng khớp giữa nằm ở hai phía. Trong ngôn ngữ của bài, mỗi cách bố trí toàn bộ các khâu là một cấu hình.

Hình người chơi golf giúp gọi tên một điểm trên tác phẩm: chỗ bàn tay gặp cán gậy. Tuy nhiên, T tại (9; 0) là đích tự đặt của bài giấy, không được đo từ ảnh. OE và ET đại diện cho khâu của cơ cấu tưởng tượng, không phải xương tay người. Hai vị trí E cũng không phải hai tư thế đã quan sát trên tượng.

Điểm bàn tay cầm gậy và hướng của gậy là hai dữ kiện khác nhau. Các tọa độ trong bài được đặt riêng, không đo từ tượng này. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Kiểm số sau khi đã hiểu cách dựng

Hai giao điểm có cùng hoành độ x = 20/3 cm, xấp xỉ 6,667 cm. Tung độ lần lượt là 4√11/3 và −4√11/3 cm, xấp xỉ 4,422 và −4,422 cm. Nếu dùng giấy ô, hãy đặt E quanh các vị trí ấy rồi kiểm bằng thước. Các số thập phân đã làm tròn nên có thể tạo sai lệch nhỏ so với giao điểm dựng bằng compa.

Có thể kiểm chính xác bằng bình phương khoảng cách. Với OE, tổng 400/9 + 176/9 bằng 64, nên OE bằng 8. Với ET, khoảng ngang là 9 − 20/3 = 7/3; tổng 49/9 + 176/9 bằng 25, nên ET bằng 5. Đổi dấu tung độ không đổi bình phương, vì thế cả nhánh trên và nhánh dưới đều đúng chiều dài. T vẫn nằm nguyên tại chỗ cũ.

Thêm hướng đầu mút và gặp một yêu cầu không thể đạt

Vẽ mũi tên dọc khâu cuối theo chiều từ E tới T. Ở cấu hình E+, mũi tên chếch xuống sang phải; ở cấu hình E−, nó chếch lên sang phải. Hai đầu mút cùng chạm T nhưng hướng khác nhau. Một dấu chấm trên giấy sẽ che mất khác biệt này, còn mũi tên cho biết khâu cuối đang tới điểm đích theo chiều nào.

Bây giờ yêu cầu tại chính T, mũi tên phải nằm ngang và chỉ thẳng sang phải, tức theo chiều dương của x. ET dài 5 cm, nên E bắt buộc nằm lùi bên trái T đúng 5 cm: E phải ở (4; 0). Nhưng điểm đó chỉ cách O 4 cm, trong khi khâu OE dài 8 cm. Hai điều kiện không thể cùng đúng.

Đây là lý do không đạt, chứ không chỉ là chưa tìm ra góc thuận tiện. Khi vị trí T, chiều dài ET và hướng E tới T đã được chốt, vị trí E không còn được chọn tùy ý. Đổi sang E+ hay E− đều làm mũi tên xiên. Kéo ngắn OE sẽ đổi chiều dài cơ cấu; thêm một khớp cổ tay xoay riêng cũng tạo ra mô hình mới.

Phần Task Space and Workspace của Modern Robotics, Northwestern phân biệt nhiệm vụ điều khiển vị trí đầu mút với nhiệm vụ có cả vị trí và hướng. Phản ví dụ 8–5 cm ở đây minh họa sự khác nhau ấy bằng số tự đặt, không xác định giới hạn của mọi robot.

Một điểm trên thân chai và hướng tiếp cận điểm ấy cần được nói riêng. Ảnh không cung cấp pháp tuyến, đường đi dụng cụ hoặc dữ liệu gia công. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Để gắn yêu cầu hướng với một bề mặt, vẽ riêng đoạn thẳng đứng tại x = 9, từ y = −1 đến y = 1. T nằm giữa đoạn này. Đặt yêu cầu tiếp cận từ trái sang phải ngay tại T. Đó là mặt đích giả định; ảnh chai chỉ gợi câu hỏi về điểm trên mặt và hướng tiếp cận, không cung cấp pháp tuyến hay tọa độ để tính.

Không phải mọi công việc tạo hình đều dùng cùng yêu cầu hướng. Bài giấy chọn một hướng cụ thể để kiểm một mệnh đề cụ thể. Kết quả là: cơ cấu này tới được vị trí T, nhưng không tới T với khâu cuối hướng ngang sang phải. Chỉ biết tổng chiều dài 13 cm sẽ không giúp phát hiện phần bất khả thi đó.

Kiểm cả khâu khi vật cản nằm xa điểm đích

Trở lại nhiệm vụ chỉ cần tới vị trí T, tạm bỏ yêu cầu hướng ngang vừa xét. Giữ nguyên O, T và hai cấu hình E+, E−. Tô một hình chữ nhật R có x từ 3 đến 4 cm, y từ 1,5 đến 3 cm. Hình nằm phía trên trục x, khá xa T. Không dịch nó sang chỗ khác trong quá trình so sánh.

Nhánh trên đi xuyên hình cản

Ở nhánh E+, đoạn OE+ đi từ gốc tới điểm xấp xỉ (6,667; 4,422). Độ cao trên đoạn này tăng khoảng 0,6633 cm mỗi khi x tăng 1 cm. Tại x = 3, nó có y xấp xỉ 1,990; tại x = 4, y xấp xỉ 2,653. Cả khoảng độ cao ấy nằm giữa 1,5 và 3, nên phần khâu đi qua hình chữ nhật R.

Nếu muốn kiểm lại hệ số, đường OE+ có y = (√11/5)x. Thay hai mép x của R sẽ cho các số vừa nêu. Đoạn còn lại E+T có x từ khoảng 6,667 đến 9, nên không gặp hình cản đang ở x từ 3 đến 4. Chỉ riêng OE+ cắt R đã đủ loại cấu hình trên, dù T và toàn bộ khâu cuối đều ở ngoài hình cản.

Nhánh dưới không cắt R ở tư thế đã vẽ

Với E−, đoạn OE− nằm ở y không lớn hơn 0. Đoạn E−T cũng ở y không lớn hơn 0, vì hai đầu của nó đều ở dưới hoặc trên chính trục x. Trong khi đó, mọi điểm của R có y từ 1,5 trở lên. Cả hai đoạn tâm đều không cắt R. Ta đã kiểm toàn bộ hai khâu, thay vì chỉ nhìn đầu mút T.

Kết luận này giới hạn ở hai tư thế đứng yên và các đoạn không bề rộng. Một dải giấy có mép chạm màu tô chưa tự động là giao nhau của đoạn tâm đang xét; muốn tính cả mép phải bổ sung bề rộng vào mô hình. Ngược lại, đoạn tâm không cắt R cũng chưa nói gì về vỏ khâu, phần nhô của dụng cụ hay những vật chưa được vẽ.

Trang Inverse Kinematics của Carnegie Mellon đặt việc tìm cấu hình cạnh bài toán lập đường đi có vật cản. Ở đây ta chỉ kiểm hai cấu hình; chưa xây dựng hay chứng minh một đường chuyển động liên tục giữa chúng.

Ngay cả khi hai tư thế đầu và cuối đều không va, những tư thế ở giữa vẫn cần được xét. Vì vậy, không kéo hai dải qua một vài vị trí rồi xem đó là bằng chứng có đường đi đầy đủ. Bài giấy dừng ở kết quả nhánh trên cắt R, nhánh dưới không cắt R tại trạng thái đã vẽ; không chuyển kết quả ấy thành lệnh chạy máy.

Giữ bốn câu trả lời riêng khi nói về tạo hình

Trang giấy giờ cho bốn câu trả lời rõ ràng. Về vị trí, P cách gốc 2 cm và Q cách gốc 14 cm đều ngoài vành cho phép, còn T cách gốc 9 cm ở trong vành. Về cách bố trí khâu, hai giao điểm đường tròn cho E+ và E−. Về hướng tại T, yêu cầu ngang sang phải bị loại. Về hình cản R, nhánh trên giao hình cản còn nhánh dưới không giao ở tư thế tĩnh.

Điều đáng giữ lại là trình tự thêm điều kiện. Hình vành tròn được dựng trước khi có R và trước khi đòi hướng. Hai đường gấp khúc giải nhiệm vụ vị trí. Mũi tên thêm yêu cầu hướng; hình chữ nhật thêm điều kiện va chạm. Mỗi lớp thông tin có thể loại một đáp án từng đúng với bài toán ít điều kiện hơn, mà không làm phép dựng ban đầu sai.

Khi xem một hình trong các dự án tạo hình, bạn có thể chỉ ra điểm muốn bàn tới, rồi nói riêng hướng mong muốn ở điểm ấy. Đừng lấy số 13 cm của ví dụ làm thông số thiết bị hay suy phương pháp chế tác từ ảnh. Bài này cũng chưa xét lực, sai số, kích thước dụng cụ và khả năng cắt vật liệu; đó là những câu hỏi ngoài hai đoạn giấy.

Với robot điêu khắc, câu “tới được” sẽ rõ nghĩa hơn khi đi kèm điều kiện: tới điểm nào, bằng cấu hình nào, với hướng nào và có giao vật cản đã xét hay không. Hai khâu nhỏ đủ để thấy vì sao một khoảng cách duy nhất chưa trả lời hết những câu hỏi đó.

Muốn trao đổi ý tưởng tạo hình, hãy ghi rõ vùng hình bạn quan tâm và kết quả mong muốn trên trang liên hệ, gọi 0965536866 hoặc gửi thư tới mohinhdieukhac@gmail.com.