Quả cầu điêu khắc nhiều lớp: vì sao dải trên mặt cắt không bằng bề dày vỏ?

Một quả cầu nhiều lớp cần được nhìn như các vỏ lồng nhau

Khi vẽ quả cầu điêu khắc nhiều lớp, bạn có thể gặp một điều khó hiểu: cùng một vỏ dày đều nhưng dải màu trên hai mặt cắt lại rộng khác nhau. Điều đó có thể hoàn toàn đúng. Vị trí của mặt phẳng cắt đã đổi, còn vật thể vẫn giữ nguyên. Ta sẽ thử bằng ba vỏ cầu với những bán kính xác định, rồi tự dựng từng mặt cắt để thấy sự khác biệt.

Trong bài này, nhiều lớp được hiểu là những vỏ cầu lồng vào nhau, có khoảng hở giữa các vỏ. Mỗi vỏ chiếm một vùng vật liệu giữa mặt cầu ngoài và mặt cầu trong. Cách hiểu ấy khác việc chia một quả cầu thành nhiều mảng màu trên bề mặt. Một đường trang trí chạy quanh bên ngoài cũng chưa cho biết phía trong có thêm vỏ nào.

Bắt đầu từ một giả định rõ ràng

Nghiên cứu năm 2021 của Robert van Liere và Ching-Ling Wang trên The Rijksmuseum Bulletin so sánh đặc điểm hình học từ dữ liệu CT của quả cầu chạm với mô hình toán. Hồ sơ nghiên cứu tại CWI cho thấy một hướng khảo sát cấu trúc bằng dữ liệu ba chiều.

Ở đây, ta chỉ làm một bài vẽ hình học, với các vỏ trơn chung tâm. Hoa văn, cửa mở và khả năng lệch tâm của một vật chạm thật được để ngoài phép tính. Nhờ vậy, mọi thay đổi trên trang giấy đều có thể lần về đúng vị trí mặt cắt, thay vì phải đoán điều gì nằm sau bề mặt.

Ảnh tham khảo từ Mô Hình Điêu Khắc cho thấy một khối hình cầu trắng có gờ ngang. Ta nhìn được đường gờ ấy, còn số vỏ bên trong vẫn chưa biết. Ba bản vẽ sắp dựng sẽ dùng cấu tạo do bài tự đặt ra; chúng không phải kết quả đo khối trong ảnh.

Khối hình cầu trắng có một gờ chạy ngang. Ảnh tham khảo hình ngoài, không phải mặt cắt của bài vẽ. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Đặt ba vỏ, hai khoảng hở và một tâm chung

Gọi tâm chung là O. Vỏ ngoài A chứa phần vật liệu cách O từ 8 đến 10 đơn vị; vỏ giữa B từ 5 đến 7; vỏ trong C từ 2 đến 4. Ta tính cả đường biên vào mỗi vùng vật liệu. Các vùng cách tâm từ 7 đến 8 và từ 4 đến 5 để trống; vùng gần tâm, dưới 2 đơn vị, cũng trống.

Như vậy, mỗi vỏ dày 2 đơn vị khi đo theo bán kính. Hai khe giữa các vỏ đều rộng 1 đơn vị theo cùng hướng đo. Đây là những con số giả định để dễ tính, không phải kích thước hay tiêu chuẩn chế tác của một sản phẩm. Bạn có thể dùng bất kỳ đơn vị độ dài nào, miễn giữ nhất quán.

Dựng hình bên để đặt các mặt phẳng

Trên giấy, kẻ trục x ngang và trục z đứng, giao nhau tại O. Chọn một đơn vị ứng với 5 mm trên giấy thì đường kính ngoài cùng dài 100 mm. Vẽ sáu đường tròn tâm O với bán kính lần lượt 2, 4, 5, 7, 8 và 10 đơn vị. Tô ba vành vật liệu bằng ba màu, giữ những vùng rỗng màu trắng.

Hình vừa vẽ là một lát qua tâm trong mặt phẳng x–z. Ta dùng nó làm hình bên để định vị các lát ngang khác. Đánh dấu cao độ 0, 6, 8 và 9 trên trục z. Một đường ngang đi qua dấu 6 đại diện cho cả mặt phẳng z = 6 trong không gian. Khi dựng hình của lát ấy, hãy dùng một vùng giấy riêng, nhìn vuông góc vào mặt phẳng.

Trong ảnh hình cầu vàng xanh, các lỗ tròn là cửa mở thật nhìn thấy trên bề mặt. Đường tròn của mặt cắt lại được tạo bởi giao giữa mặt phẳng tưởng tượng với một mặt cầu. Mô hình trơn tạm bỏ các cửa mở để dễ theo dõi; nó chưa giải quyết việc lắp ráp, chạm thủng hoặc chuyển động tương đối giữa các vỏ.

Hình cầu vàng xanh có nhiều lỗ tròn. Ảnh giúp phân biệt cửa mở trên bề mặt với đường tròn của một lát cắt tưởng tượng. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Lát qua tâm cho bề rộng bằng chiều dày theo bán kính

Bắt đầu với mặt phẳng z = 0. Vì mặt phẳng đi qua O, các vòng giao vẫn có bán kính bằng bán kính mặt cầu tương ứng. Trên tờ mặt cắt thứ nhất, A là vành giữa 8 và 10; B là vành giữa 5 và 7; C là vành giữa 2 và 4. Tâm của cả sáu đường tròn đều là O.

Thử đọc hình theo một tia từ tâm đi sang phải. Bạn gặp vùng trắng từ 0 đến 2, C từ 2 đến 4, khe từ 4 đến 5, B từ 5 đến 7, khe từ 7 đến 8, rồi A từ 8 đến 10. Đọc bằng thứ tự ấy giúp gắn mỗi vùng màu với một vỏ, thay vì chỉ đếm những đoạn màu trên cả đường kính.

Một vành có hai đoạn trên đường kính

Nếu kẻ một đường thẳng xuyên qua tâm, vỏ A hiện thành hai đoạn nằm ở hai đầu. Chúng thuộc cùng một vành liên tục, nên vẫn chỉ là một lớp. Mỗi đoạn dài 2 đơn vị. Phân biệt này quan trọng khi bạn chuyển từ hình hai chiều trên giấy trở lại cách hình dung vỏ cầu bao quanh khoảng rỗng.

Với A, bán kính ngoài bằng 10 và đường kính ngoài bằng 20. Đường kính trong bằng 16. Lấy 20 trừ 16 được 4, tức tổng bề rộng hai đoạn vật liệu hai bên. Muốn tìm chiều dày một phía, lấy hiệu hai bán kính: 10 trừ 8 bằng 2. Ghi rõ tên đại lượng cạnh con số sẽ tránh được sai lệch gấp đôi.

Ở lát này, đoạn từ mặt trong tới mặt ngoài trên một tia của bản vẽ cũng nằm trên bán kính thật của quả cầu trong không gian. Vì thế nó đo đúng chiều dày xuyên tâm. Hãy giữ bản z = 0 làm bản đối chiếu. Những bản sau chỉ thay vị trí mặt phẳng; sáu bán kính đã khai báo đều giữ nguyên.

Dịch lên sáu đơn vị: dải ngoài rộng khoảng 2,708

Để tìm bán kính trên lát lệch tâm, trước hết xét một mặt cầu bán kính R. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống mặt phẳng cắt; khoảng cách OH bằng độ lớn của cao độ z. Chọn P trên vòng giao. Đoạn OP dài R, đoạn HP nằm trong mặt phẳng cắt, còn tam giác OHP vuông tại H.

Theo quan hệ của tam giác vuông, HP² + z² = R². Do đó, bán kính vòng giao HP bằng căn bậc hai của R² − z². Công thức chỉ cho một vòng khi độ lớn của z nhỏ hơn R; bằng R thì vòng co thành điểm. Bạn cần áp dụng phép tính riêng cho từng mặt cầu ngoài và trong.

Tính hai bán kính rồi mới lấy hiệu

Với vỏ A tại z = 6, mặt ngoài bán kính 10 cho vòng giao có bán kính căn(100 − 36), bằng 8. Mặt trong bán kính 8 cho vòng giao có bán kính căn(64 − 36), tức căn 28, xấp xỉ 5,292. Bề rộng dải A trên lát là 8 − căn 28, xấp xỉ 2,708 đơn vị.

Trên tờ thứ hai, đánh dấu tâm H và vẽ hai vòng bán kính 8 cùng 5,292, vẫn theo thang đã chọn. Bạn sẽ thấy đường bao ngoài nhỏ hơn bản qua tâm nhưng vành màu lại rộng hơn. Không cần sửa vành về 2 để nó trông đều với bản trước. Chính hình đang biểu diễn hai phép đo theo hai hướng khác nhau.

Hai đầu của đoạn rộng 2,708 nằm trên cùng một tia từ H trong mặt phẳng cắt. Trong không gian, chúng không nằm trên cùng một tia từ O. Vì vậy, đoạn ấy không đo chiều dày theo bán kính của vỏ cầu. Khoảng cách xuyên tâm giữa hai mặt A vẫn bằng 10 − 8 = 2.

Có một cách kiểm độc lập: 8² − (căn 28)² = 64 − 28 = 36, bằng 10² − 8². Khi cả hai mặt cầu còn giao với mặt phẳng, hiệu bình phương hai bán kính vòng giao giữ nguyên. Hiệu hai bán kính có thể thay đổi vì chúng là một đại lượng khác.

Nhìn mép mở của chiếc ghế dạng kén trong ảnh, ta còn phải xét hướng nhìn phối cảnh trước khi đo trên ảnh. Các số vừa tính thuộc mặt cắt được nhìn vuông góc. Hình kén chỉ gợi câu hỏi “đang đo theo hướng nào”, không cung cấp hai mặt cầu đồng tâm cho phép tính này.

Ghế dạng kén hồng xanh có miệng mở lớn. Mép nhìn trên ảnh không phải bề rộng đã đo trong mặt cắt vuông góc của bài. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Khe hở đổi bề rộng, còn lớp trong có thể vắng trên lát

Giữ mặt phẳng z = 6 và chuyển sang B. Mặt ngoài bán kính 7 cho vòng giao bán kính căn(49 − 36), tức căn 13, xấp xỉ 3,606. Mặt trong bán kính 5 hoàn toàn nằm dưới cao độ 6 ở phía trên tâm. Mặt phẳng đang xét không gặp mặt trong ấy, nên không có vòng nhỏ để trừ đi.

Phần vật liệu B trên lát này là một đĩa từ H ra đến bán kính căn 13. Có thể kiểm ngay tại H: điểm này cách O đúng 6, nằm giữa hai bán kính 5 và 7 của B, nên thuộc vật liệu. Bởi vậy, để một lỗ trắng ở giữa đĩa chỉ nhằm giữ dáng vành của bản trước sẽ làm sai mặt cắt.

Muốn kiểm cả đĩa, chọn một điểm cách H một đoạn s. Khoảng cách của nó tới O là căn(36 + s²). Khi s đi từ 0 đến căn 13, khoảng cách ấy chạy từ 6 đến 7, luôn nằm trong phần vật liệu B. Vì vậy, đĩa được tô liên tục, không chỉ có riêng tâm thuộc vỏ.

Đo khe bằng hai mép trên cùng một lát

Khe giữa B và A bắt đầu ở mép ngoài B, bán kính căn 13, và kết thúc ở mép trong A, bán kính căn 28. Bề rộng của nó bằng căn 28 − căn 13, xấp xỉ 1,686 đơn vị. Khe theo bán kính của vật thể vẫn rộng 8 − 7 = 1. Hai kết quả không mâu thuẫn vì hướng đo đã khác.

Đừng lấy bán kính 8 của mặt trong A trên bản z = 0 rồi trừ 3,606 của B trên bản z = 6. Hai số đó thuộc hai mặt phẳng khác nhau. Một khoảng cách trên lát chỉ được tính bằng hai vị trí cùng nằm trên lát ấy. Ghi cao độ bên cạnh từng cặp bán kính giúp giữ phép trừ đúng chỗ.

Vỏ C có bán kính ngoài 4, nên toàn bộ C nằm ngoài tầm gặp của mặt phẳng z = 6. Không cần tô thêm màu của C trên tờ này. Từ H ra ngoài, hình chỉ gồm đĩa B đến căn 13, khe trắng đến căn 28 và vành A đến 8. Các miền nối tiếp, không chồng nhau.

Đĩa B không có nghĩa cả vỏ B đã thành một quả cầu đặc. Ta đang cắt qua phần chóp của vỏ rỗng; khoang bên trong vẫn hiện trên những lát khác, như bản qua tâm. Tương tự, C vắng mặt tại cao độ này nhưng vẫn tồn tại trong mô hình. Số miền vật liệu trên một lát không tự cho biết tổng số vỏ.

Qua cao độ tám, vành chuyển thành đĩa rồi thu nhỏ

Dời mặt phẳng tới z = 8. Với A, vòng ngoài có bán kính căn(100 − 64), bằng 6. Vòng trong co về bán kính 0: mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu trong ngay tại H. Lỗ ở giữa không còn diện tích dương. Theo quy ước tính cả đường biên vào vật liệu, phần cắt A là một đĩa bán kính 6.

Con số 6 là bán kính đĩa trên tờ thứ ba, không phải chiều dày mới của A. Điểm H giờ nằm đúng trên mặt trong của vỏ. B và C đều không xuất hiện vì cao độ 8 vượt bán kính ngoài lớn nhất của chúng. Toàn bộ bản này chỉ cần một đĩa mang ký hiệu A cùng chú thích vị trí tiếp xúc.

Kiểm điều kiện trước khi dùng căn bậc hai

Thử lên thêm một đơn vị, tới z = 9. Mặt phẳng chỉ gặp mặt ngoài A, tạo đĩa bán kính căn(100 − 81), tức căn 19, xấp xỉ 4,359. Mặt trong không giao với mặt phẳng. Viết căn(64 − 81) rồi cố coi nó là một bán kính thực sẽ che mất điều hình học đơn giản này.

So ba vị trí: tại z = 6, A là vành rộng khoảng 2,708; tới z = 8, lỗ giữa khép lại trên lát và còn đĩa bán kính 6; tới z = 9, đĩa thu về bán kính khoảng 4,359. Vì vậy, không thể kéo câu “dải rộng dần khi xa tâm” qua mọi cao độ. Dạng của tiết diện đã đổi.

Tại z = 10, mặt phẳng tiếp xúc với mặt ngoài A, chỉ còn một điểm có diện tích bằng không. Vượt quá 10 thì không có giao. Nếu đặt các lát ở phía dưới tâm, cùng độ lớn cao độ sẽ cho cùng kích thước vì công thức chứa z². Với mặt phẳng nghiêng, điều cần biết vẫn là khoảng cách vuông góc tới O; hình cầu lý tưởng không ưu tiên hướng trên hay dưới.

Giữ ba bản vẽ để tự đọc một quả cầu nhiều lớp

Đặt các bản z = 0, z = 6 và z = 8 cạnh nhau, cùng một thang. Mỗi bản cần có cao độ, tâm của các vòng và ký hiệu vỏ còn xuất hiện. Trên hình bên, giữ tâm O của quả cầu; trên lát lệch tâm, gọi tâm vòng là H. Khi ấy, bạn dễ chỉ ra đoạn nào thuộc mặt phẳng cắt và đoạn nào thuộc hướng bán kính.

Hai câu hỏi để kiểm lại cách đọc

Nếu một lát có vòng ngoài A bán kính 8, đã biết ngay vỏ dày bao nhiêu chưa? Chưa, nếu chỉ có riêng con số ấy. Trong bài này, ta còn biết bán kính ngoài ban đầu bằng 10, nên suy được độ lớn cao độ bằng căn(100 − 64) = 6. Muốn tìm dải trên lát vẫn phải dùng tiếp bán kính trong ban đầu bằng 8.

Nếu không thấy C ở z = 6, có được kết luận vật thể chỉ có hai vỏ không? Không. Với những lát có độ lớn cao độ nhỏ hơn 4, C lại có phần giao; ở mức bằng 4, nó chỉ còn một điểm. Câu trả lời phải gắn với vị trí mặt phẳng đang mô tả, thay vì thay đổi cấu tạo đã biết.

Thử mang câu hỏi ấy trở lại các hình thể trong dự án. Ảnh cụm trang trí cho thấy hình cầu ghi VINCOM, những vạch trên mặt và các vòm sao bên ngoài. Ta có thể gọi tên các đường nhìn thấy, nhưng chưa có dữ liệu để vẽ những vỏ lồng bên trong. Đường thuộc bối cảnh và ranh của một vỏ cầu cần được phân biệt.

Hình cầu ghi VINCOM đứng giữa các vòm sao trong một cụm trang trí. Những vòng xung quanh không chứng minh có các vỏ cầu lồng bên trong. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Ba bản vẽ đã giải thích bằng số vì sao vỏ dày 2 có thể cho dải rộng khoảng 2,708, còn khe rộng 1 có thể hiện thành khoảng 1,686. Khi ghi kết quả, hãy giữ cả giả định đồng tâm, bán kính gốc và vị trí cắt. Chúng giúp mỗi con số mang đúng nghĩa, kể cả khi một vành chuyển thành đĩa hoặc một lớp không xuất hiện.

Để trao đổi bản phác quả cầu và cách thể hiện mặt cắt, xem thông tin liên hệ, gọi 0965536866 hoặc gửi email tới mohinhdieukhac@gmail.com.