Phù điêu khắc gỗ: vì sao hoa văn chéo đổi góc khi hai hướng co khác nhau?

Khi phác hoa văn cho phù điêu khắc gỗ, người vẽ có thể gặp một câu hỏi thú vị: nếu hai hướng thay đổi kích thước khác nhau, liệu một góc vuông còn vuông? Bài tập dưới đây đi từ đường tròn đến ô vuông đặt chéo, rồi tính hình ban đầu cần có để giữ đúng góc của hình đích. Mọi phép tính diễn ra trên giấy, với hai hệ số giả định.

Ba bộ hướng cần tách riêng trên bản phác

Đặt một vòng hoa tròn và một ô vuông xoay chéo quanh cùng tâm O. Trên lề giấy, vẽ hai mũi tên X và Y chỉ chiều ngang, chiều đứng của căn phòng. Thêm hai trục vuông góc u và v thuộc nền của bài toán. Cuối cùng, đặt tên a và b cho hướng hai cạnh của ô vuông. Việc ghi tên trước giúp một nét nghiêng không phải kiêm cả hướng phòng lẫn hướng họa tiết.

Trong phương án đầu, cho u trùng X và v trùng Y, còn cạnh a nghiêng 45 độ so với u. Nhìn bản này, người đọc dễ tưởng chỉ cần hai trục ngang và đứng. Tuy nhiên, đó là sự trùng nhau được chọn cho một phương án. Sau khi xoay nền, tên u vẫn đi theo nền; tên X vẫn chỉ ngang căn phòng. Giữ cả hai tên ngay từ đầu sẽ tránh đổi nghĩa một kích thước giữa chừng.

Theo chương 4 của Wood Handbook, USDA Forest Products Laboratory, gỗ thay đổi kích thước khác nhau theo phương tiếp tuyến, xuyên tâm và dọc thớ. Tài liệu cũng nêu ảnh hưởng của vòng sinh trưởng và khác biệt giữa từng mẫu. Đó là lý do cần chú ý đến hướng; dữ liệu chung không xác định chính xác thay đổi của một tấm riêng.

Khóa phạm vi của hai trục u và v

Trong bài, u và v chỉ là hai phương chính cố định của một mô hình phẳng trừu tượng. Các số 0,94 và 0,97 do tác giả đặt riêng để giải hình học, không lấy từ dữ liệu loài gỗ. Không gọi chúng là hệ số dọc thớ, xuyên tâm hay tiếp tuyến của vật thật. Bốn ảnh từ Mô Hình Điêu Khắc chỉ tham khảo hình và bố cục, không xác nhận vật liệu gỗ hoặc hướng thớ.

Chọn đơn vị milimét và nhìn vuông góc mặt giấy. Gốc O giữ nguyên qua mọi phép tính; một điểm lệch sang phải có tọa độ u dương, lệch lên trên có tọa độ v dương. Đánh dấu một chấm ở cạnh đang theo dõi để không lẫn cạnh ấy với cạnh đối diện. Bài phác lúc này mô tả đường bao mặt trước, chưa chứa độ sâu của phần nổi.

Có ba thao tác cần gọi đúng tên. Xoay riêng hoa văn làm đổi quan hệ giữa a, b với u, v. Xoay cả nền làm đổi quan hệ giữa u, v với X, Y. Thay hướng máy ảnh lại đổi cách quan sát mặt phác. Trước khi tính, hãy chọn thao tác đang muốn thử; một bản vẽ gọn mà rõ quan hệ sẽ hữu ích hơn nhiều mũi tên không có tên.

Đường tròn cho thấy hai chiều giảm khác nhau

Quy tắc của bài rất cụ thể: nhân tọa độ u của mọi điểm với 0,94, nhân tọa độ v với 0,97. Hai số là phần chiều dài còn lại theo từng phương. Vì vậy, theo u giảm sáu phần trăm, theo v giảm ba phần trăm. Tất cả điểm trên đường bao dùng cùng quy tắc; không chỉ bốn điểm ở mép ngoài được đổi chỗ.

(u; v) → (0,94u; 0,97v). Đây là phép biến đổi giả định trong toàn bộ bài tập.

Vẽ đường tròn bán kính 50 mm, tâm O. Điểm ngoài cùng bên phải ban đầu nằm cách gốc 50 mm theo u; sau biến đổi còn cách 47 mm. Điểm trên cùng ban đầu cách gốc 50 mm theo v; sau biến đổi còn 48,5 mm. Hai điểm đối diện nhận tọa độ âm tương ứng. Tâm vẫn nằm ở gốc vì nhân số không với mỗi hệ số đều được số không.

Bốn cực: (50; 0) → (47; 0); (0; 50) → (0; 48,5); (−50; 0) → (−47; 0); (0; −50) → (0; −48,5).

Đọc bán trục trước khi vẽ lại đường bao

Kết quả là elip có đường kính 94 mm theo u và 97 mm theo v. Khi đặt compa hoặc các mốc dựng hình, hãy phân biệt đường kính toàn hình với khoảng cách từ tâm đến mép. Bán trục lần lượt là 47 mm và 48,5 mm. Nếu lấy đường kính làm bán trục, hình được vẽ lớn gấp đôi và lỗi ấy sẽ che mất chuyện khác nhau giữa hai hướng.

Bốn cực giúp kiểm khổ ngang và cao, nhưng chỉ riêng bốn dấu chấm không chứng minh mọi nét cong ở giữa đều đúng. Ở đây ta biết quy tắc cho tất cả điểm nên mới kết luận được elip. Có thể kiểm thêm điểm chéo: tọa độ ban đầu cùng bằng 25 căn hai; sau biến đổi, chúng lần lượt thành 23,5 căn hai và 24,25 căn hai. Điểm này nằm giữa hai cực, giúp phát hiện cách nối đường cong tùy tiện.

Hình mới có vẻ thanh cao hơn dù chiều cao cũng giảm. Cách nói chính xác là chiều đứng giảm ít hơn chiều ngang trong cách đặt trục hiện tại. Khi so hai bản, dùng cùng thang biểu diễn và đặt chúng chung đường tâm. Một ảnh chụp xiên có thể làm đường tròn trông dẹt, nên không lấy độ dẹt trong ảnh để thay cho hai hệ số đã định trên giấy.

Mảng nổi có một hình dạng tròn cùng các dải cong cạnh hành lang. Dùng tham khảo đường bao; góc chụp không cung cấp đường kính thật hoặc bằng chứng co theo hướng. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Ô vuông đặt chéo đổi cả góc bên trong

Để thấy điều mà khổ ngang và cao chưa nói hết, vẽ một ô vuông cạnh 100 mm với bốn đỉnh nằm trên hai trục u, v. Đỉnh phải và đỉnh trên lần lượt cách O một đoạn 50 căn hai. Hai đỉnh còn lại đối xứng qua tâm. Mỗi cạnh nghiêng 45 độ so với một phương trục; chính cạnh nghiêng, còn hai đường chéo nằm dọc trục. Dáng giống viên kim cương không làm ô vuông mất bốn góc vuông ban đầu.

Theo phép biến đổi, khoảng cách từ O đến hai đỉnh bên còn 47 căn hai, đến hai đỉnh trên dưới còn 48,5 căn hai. Bốn cạnh vẫn bằng nhau vì mỗi cạnh có cùng độ lớn hai thành phần tọa độ, chỉ khác dấu. Tuy nhiên, hai đường chéo không còn bằng nhau. Ta nhận được một hình thoi không vuông, thay vì một ô vuông chỉ nhỏ đi.

Cạnh sau = √[(47√2)² + (48,5√2)²] ≈ 95,511779 mm. Hai đường chéo sau: 94√2 mm và 97√2 mm.

Tính góc bằng độ nghiêng của cạnh

Xét cạnh đi từ đỉnh phải đến đỉnh trên. Độ tăng theo v so với độ giảm theo u có tỷ số 0,97 chia 0,94. Góc nhọn của đường cạnh với phương ngang là arctan của tỷ số đó, xấp xỉ 45,899860 độ. Trong tam giác gồm hai đỉnh bên và đỉnh trên, hai góc đáy bằng nhau. Lấy 180 độ trừ hai góc đáy sẽ được góc tại đỉnh trên.

Góc trên = 180° − 2 × arctan(0,97/0,94) ≈ 88,200281°. Góc dưới bằng góc trên; hai góc bên ≈ 91,799719°.

Có thể kiểm bằng tích vô hướng của hai vectơ từ đỉnh trên đến hai đỉnh bên. Tử số là hiệu bình phương hai hệ số, mẫu số là tổng bình phương của chúng. Lấy arccos sẽ ra cùng góc trên. Hai đường tính gặp nhau giúp ta chắc rằng góc nhọn ấy không xuất hiện do vẽ giấy lệch hay đọc nhầm góc ngoài.

cos(góc trên) = (0,97² − 0,94²)/(0,97² + 0,94²).

Đặt cạnh bên một ô vuông cũng cạnh 100 mm nhưng cạnh song song u và v. Nó trở thành hình chữ nhật 94 × 97 mm và vẫn có góc vuông. Như vậy, cùng phép biến đổi có thể giữ góc của một hướng đặt và làm đổi góc của hướng khác. Với dải ô chéo lặp lại, người vẽ nên so độ mở các đỉnh ở cùng khổ hiển thị trước khi quyết định giữ nhịp cũ hoặc chọn nhịp mới. Các đáp số trên không phải ngưỡng sai lệch cho phép của một công trình.

Hoa văn và các dải chéo cùng xuất hiện trên một phông nổi. Ảnh gợi quan hệ giữa hướng họa tiết và khung chung; ô vuông 45 độ của bài được vẽ riêng trên giấy. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Xoay nền khác với xoay riêng họa tiết

Bây giờ giữ elip vừa tính gắn với nền và xoay cả nền 90 độ trong căn phòng. Theo u và v, hai đường kính của nó vẫn là 94 mm và 97 mm. Theo X và Y, nó chiếm ngang 97 mm và cao 94 mm. Độ dài không đổi bởi động tác xoay; chỉ quan hệ giữa các hướng được thay. Nếu xoay 180 độ, hai đường kính ngang và đứng không hoán đổi như vậy.

Tiếp theo, giữ nền cố định rồi xoay riêng đường tròn trước khi áp quy tắc. Một đường tròn xoay quanh tâm vẫn trùng chính nó, nên phép thử này không cho thấy ảnh hưởng của hướng họa tiết. Ô vuông cũng trùng lại tập đỉnh cũ sau một vòng quay 90 độ. Muốn so hai thao tác, cần chọn hình có chiều dài và chiều rộng khác nhau, chẳng hạn một chiếc lá cách điệu.

Dùng chiếc lá dài để tránh phép so bị đối xứng che khuất

Giả sử hộp bao của lá dài 180 mm theo u và rộng 60 mm theo v. Hộp bao nghĩa là hình chữ nhật nhỏ nhất theo hai phương này chứa đường lá. Sau biến đổi, khổ bao là 169,2 × 58,2 mm. Nếu chỉ xoay nguyên kết quả ấy 90 độ, khổ theo u và v trở thành 58,2 × 169,2 mm. Đây là nhánh làm biến đổi trước rồi xoay.

Ở nhánh còn lại, xoay riêng lá ngay từ đầu để hộp bao thành 60 × 180 mm, trong khi hai trục của nền đứng yên. Khi đó, kết quả là 56,4 × 174,6 mm. Hai khổ cuối khác nhau dù cả hai nhánh đều có một lần xoay và một lần biến đổi. Thứ tự có ý nghĩa vì mỗi chiều của lá gặp hệ số khác nhau khi đến bước nhân.

Xoay sau: 180 × 60 → 169,2 × 58,2 → 58,2 × 169,2 mm. Xoay trước: 180 × 60 → 60 × 180 → 56,4 × 174,6 mm.

Với một lá dùng để nhấn chiều cao, hãy ghi hướng nhấn theo căn phòng, rồi ghi hướng lá so với nền. Hai dòng này cho biết cần xoay cả cụm hay chỉ đổi bố cục trên nền. Tương tự, một dải hoa chạy ngang kiến trúc có thể chứa cành nghiêng; hướng chung của dải không tự quyết định hướng của mọi nét bên trong. Các số của lá ở đây được đặt trên giấy, không đo từ ảnh tham khảo.

Hai cụm hoa nằm trên một dải trang trí ngang phía trên cửa. Dùng tham khảo nhịp hoa với phương kiến trúc; không suy vật liệu gỗ hoặc hướng thớ từ ảnh. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Tính hình đầu để trả lại đúng hình mục tiêu

Muốn hình sau có tọa độ đã chọn, hãy làm ngược từng phép nhân. Tọa độ đích theo u chia cho 0,94; tọa độ đích theo v chia cho 0,97. Phép chia này phải diễn ra trong đúng hai trục của nền. Nếu chúng đang nghiêng so với trang bố trí phòng, trước hết đọc điểm đích theo u và v, tính bản bù, rồi mới biểu diễn lại theo X và Y.

Điểm đích (u đích; v đích) cần điểm đầu (u đích/0,94; v đích/0,97).

Với đích là đường tròn đường kính 100 mm, bản đầu phải là elip có đường kính khoảng 106,382979 mm theo u và 103,092784 mm theo v. Nhân lại từng chiều với hệ số tương ứng sẽ được cùng một đường kính đích. Elip bù có trục dài theo u, trái với elip nhận được khi đưa đường tròn ban đầu qua quy tắc. Hình bù cần được đọc theo chiều đi tới mục tiêu, không phán xét riêng vì trông chưa tròn.

Phục hồi bốn đỉnh để kiểm được bốn góc

Lấy ô vuông chéo cạnh 100 mm làm hình đích. Hai đỉnh bên của bản bù có tọa độ u bằng cộng hoặc trừ 50 căn hai chia 0,94; hai đỉnh trên dưới có tọa độ v bằng cộng hoặc trừ 50 căn hai chia 0,97. Nối bốn đỉnh này tạo một hình thoi rộng hơn theo u. Nó khác hình thoi cao hơn ở phép tính xuôi ban đầu.

Đỉnh phải/trái của bản bù: (±75,224126; 0) mm. Đỉnh trên/dưới: (0; ±72,897606) mm. Các số hiển thị đã làm tròn.

Dùng giá trị chưa làm tròn để nhân lại. Bốn đỉnh đều trở về đúng vị trí của ô vuông đích. Vì phép biến đổi giữ đoạn thẳng thành đoạn thẳng, các cạnh nối đỉnh cũng trở về đúng cạnh đích; bốn góc cuối cùng là góc vuông. Việc kiểm đỉnh cho biết ta đã sửa hình dạng, thay vì chỉ sửa một khung bao rồi bỏ qua các cạnh bên trong.

Nếu tâm lá đích lệch khỏi O và nằm ở tọa độ 40; 30 mm, tâm trước cần ở khoảng 42,553191; 30,927835 mm. Chỉ phóng đường bao quanh một tâm vẫn giữ nguyên tọa độ cũ sẽ làm hình đúng dáng nhưng sai chỗ. Có thể vẽ mỗi lá quanh tâm riêng cho dễ, song phải tính thêm vị trí tâm ấy so với gốc chung. Hai phần, hình quanh tâm và vị trí tâm, cùng tạo nên kết quả cuối.

Vì sao một tỷ lệ phóng chung không đủ?

Giả sử thử nhân toàn bộ hình đầu bằng một số k. Muốn chiều u trở lại đúng đích sau biến đổi, tích 0,94 với k phải bằng một. Muốn chiều v cũng đúng, tích 0,97 với k lại phải bằng một. Hai yêu cầu đòi hai giá trị k khác nhau. Do đó, một con số phóng chung không thể đồng thời đảo hai hệ số đang xét.

Điều kiện cần: 0,94k = 1 và 0,97k = 1. Vì 0,94 khác 0,97 nên không có cùng một k thỏa cả hai.

Thử lấy nghịch đảo của hệ số theo u để phóng đường tròn đường kính 100 mm. Sau phép biến đổi, u đúng 100 mm nhưng v thành khoảng 103,191489 mm. Nếu lấy nghịch đảo của hệ số theo v, v đúng 100 mm còn u chỉ khoảng 96,907216 mm. Mỗi cách đều làm đúng một chiều, đồng thời để lại sai khác ở chiều còn lại.

Trung bình hai hệ số vẫn để lại một elip

Một lựa chọn dễ nghĩ đến là lấy trung bình 0,955 rồi dùng nghịch đảo của nó. Kết quả khi ấy khoảng 98,429319 × 101,570681 mm. Hai sai khác có vẻ cân nhau quanh đích, nhưng đường bao vẫn chưa tròn. Muốn gọi một thỏa hiệp là tốt nhất phải nêu tiêu chí đánh giá trước; riêng phép lấy trung bình không tự chứng minh được điều đó.

Với hình thoi đã đổi góc, phóng đều sau cùng chỉ thay độ dài cạnh. Hai góc nhọn và tù vẫn như trước bởi phép phóng đều giữ góc. Kể cả chọn tỷ lệ để một cạnh trở về đúng 100 mm, hình cũng chưa thành ô vuông. Đây là lý do nên kiểm một góc hoặc hai cạnh cùng lúc, thay vì chỉ dùng một kích thước quen mắt để xác nhận bản vẽ.

Còn một lỗi khác xảy ra khi nền đã xoay 90 độ trong phòng nhưng bản bù vẫn chia theo ngang và đứng cũ. Hệ số vốn thuộc u bị gán cho v và ngược lại. Với đích tròn, kết quả theo phòng có thể là ngang 103,191489 mm, cao 96,907216 mm nếu vẫn bù ngang bằng nghịch đảo 0,94. Trước khi đổi số, hãy viết u đang nằm ngang hay đứng. Giữ nhiều chữ số trong tính toán, chỉ làm tròn khi trình bày; lỗi nhầm phương lớn hơn và khác bản chất với sai số làm tròn.

Biến phép tính thành một lựa chọn tạo hình rõ ràng

Trên trang tổng hợp, chia ba cột cho hình đầu, hình sau và hình bù. Mỗi hàng dành cho vòng tròn, ô chéo hoặc lá dài. Ghi cùng tỷ lệ biểu diễn cho ba cột và giữ một chấm tương ứng trên mỗi hình. Nhờ vậy, người xem nhận ra hình nào dùng để đặt mục tiêu, hình nào là kết quả của phép tính, hình nào là bước chuẩn bị trước phép tính ấy.

Dưới hàng vòng hoa, ghi mục tiêu giữ tròn trong mặt phác. Dưới hàng ô chéo, ghi mục tiêu giữ bốn góc vuông. Với hàng lá, ghi hướng dài muốn nhấn trong căn phòng và tỷ lệ dài rộng mong muốn. Ba dòng này có tác dụng khác nhau: một dòng bảo vệ đường bao, một dòng bảo vệ nhịp góc, một dòng đặt quan hệ với không gian. Một con số chiều ngang toàn mảng không thể thay cả ba.

Giữ mục tiêu hình học và ý đồ cách điệu tách bạch

Người vẽ có thể thích hình thoi nhọn hơn ở hai đầu và quyết định giữ kết quả không bù. Khi ấy, hãy gọi đó là lựa chọn hình ảnh mới. Nếu mục tiêu vẫn là ô vuông chéo, dùng bản bù hai phương rồi kiểm xuôi. Nếu muốn đổi hướng chiếc lá, trở về dòng ghi quan hệ với nền trước khi tính lại. Cách làm này cho phép sửa ý tưởng có chủ đích thay vì sửa từng nét cho vừa mắt mà không biết những điểm khác đã đi đâu.

Không cần biến mọi hình tự do thành công thức ngay. Có thể chọn vài điểm quan trọng như đầu lá, đáy lá và chỗ mở rộng nhất, đặt chúng trên cùng hệ trục, rồi theo dõi vị trí trước sau. Những điểm bổ sung sẽ cho biết khoảng trống giữa các hình có thay đổi thế nào trong mô hình. Giữ các đường nối và nhãn tương ứng giúp việc thảo luận về nhịp trang trí cụ thể hơn nhận xét chung rằng hình đang hơi lạ.

Có thể xem các dự án tạo hình tham khảo để tìm cách tổ chức đường cong, hoa văn và khung kiến trúc. Bài tính này chưa phải bản chạm hoặc hướng dẫn gia công. Nó không mô tả chiều nổi, cong vênh, nứt hay lực liên kết của gỗ thật; cần dữ liệu đúng mẫu và đúng điều kiện trước khi xét một bản bù dùng trong thực tế.

Cận cảnh một gương mặt nổi cùng tóc và hoa cho thấy nhiều quan hệ hình cùng tham gia biểu cảm. Ảnh chỉ là tham khảo tạo hình, không xác nhận vật liệu gỗ hay kết quả của phép tính. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Bạn có thể gửi ý tưởng đường nét, hướng bố trí và kích thước mong muốn qua trang liên hệ, gọi 0965536866 hoặc email mohinhdieukhac@gmail.com để trao đổi phạm vi tạo hình.