Khái niệm về composite: cùng nửa A, nửa B, vì sao hai cách nối giãn khác nhau?
Một cách tìm hiểu khái niệm về composite là đặt hai thành phần vào một bài toán có điều kiện rõ ràng. Nếu lượng của mỗi thành phần giữ nguyên, chỉ thay cách nối, độ giãn của cả hệ có còn giống nhau? Bài tập dưới đây trả lời bằng hai sơ đồ kéo dọc và những con số tự đặt. Người đọc có thể giải toàn bộ trên giấy, đồng thời nhận ra vì sao một phép lấy trung bình cần đi kèm cách các phần liên kết với nhau.
1. Đặt một câu hỏi đủ nhỏ để giải đến cùng
Ta gọi hai thành phần giả định là A và B. Trong phạm vi bài, mỗi thành phần đã được gán một môđun đàn hồi: A có E bằng 1.000 MPa, B có E bằng 100 MPa. Đây là dữ kiện do tác giả chọn để làm rõ sự khác nhau giữa hai cách nối. Không gán chúng cho loại nhựa, loại sợi hoặc sản phẩm cụ thể nào. Một MPa tương đương một N/mm², vì vậy có thể dùng lực tính bằng niutơn và kích thước tính bằng milimét trong cùng phép tính.
Môđun cho biết quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tương đối trong luật đàn hồi tuyến tính đang giả định. Ứng suất được tính bằng lực chia diện tích ban đầu; biến dạng tương đối bằng độ tăng chiều dài chia chiều dài ban đầu. Khi nói một phần có môđun lớn hơn, bài chỉ nói rằng nó cần ứng suất lớn hơn để đạt cùng biến dạng theo luật ấy. Chưa có dữ kiện về lúc nứt, lúc đứt hoặc khả năng chịu tải cho phép.
Giữ nguyên lượng, kích thước chung và lực kéo
Cả hai phương án đều dài 100 mm, có diện tích tiết diện bao bằng 100 mm² và thể tích tổng cộng 10.000 mm³. Trong đó, A và B mỗi phần chiếm 5.000 mm³. Lực kéo tổng là 100 N, đặt dọc trục x. Tất cả kích thước vừa nêu là kích thước trước biến dạng. Ta bỏ qua biến dạng ngang và sự thay đổi tiết diện, chỉ theo dõi độ tăng chiều dài. Những giới hạn này giúp từng bước tính có một ý nghĩa cụ thể, thay vì trộn nhiều hiện tượng vào cùng một con số.
Tài liệu Introduction to Composite Materials của David Roylance, MIT trình bày hai lý tưởng hóa: các phần cùng biến dạng và các phần cùng ứng suất. Tài liệu cũng lưu ý hạn chế khi dùng mô hình nối tiếp để dự đoán đáp ứng ngang của composite sợi thật. Bài dưới đây tự đặt hình học và số liệu để giải hai hệ thanh một chiều; không dùng chúng làm thông số của vật liệu thực.
Đây là bài tính, không phải hướng dẫn treo tải vào đồ trang trí hoặc tự thử vật liệu. Các ảnh đi kèm giúp liên hệ câu hỏi với hình dạng và cách bố trí bộ phận. Dữ kiện cơ học của bài xuất phát từ các giả thiết được viết ra, không được đo hay suy từ ảnh.
2. Vẽ hai cấu hình và kiểm lại thể tích từng phần
Phương án P gồm hai dải đặt cạnh nhau. Mỗi dải dài 100 mm, diện tích tiết diện 50 mm². Đầu trái của cả hai gắn vào một bản đầu lý tưởng cứng tại vị trí x bằng không. Đầu phải cùng gắn vào bản đầu thứ hai, ban đầu ở x bằng 100 mm. Bản trái cố định; bản phải chỉ được tịnh tiến dọc x, không xoay. Các liên kết không trượt, không hở và không tự biến dạng. Bởi vậy, khi bản phải đi thêm một đoạn, hai dải đều dài thêm đúng đoạn ấy.
Có thể vẽ P bằng hai đường từ cùng nút trái đến cùng nút phải, đặt chữ A trên một đường và chữ B trên đường còn lại. Nét vẽ biểu diễn quan hệ đầu nối, không biểu diễn đầy đủ bề rộng. Với chiều dài ban đầu bằng nhau, độ tăng chiều dài chung cũng tạo ra biến dạng tương đối chung. Lực tổng được chia cho hai dải, nhưng chưa có lý do để chia đều. Phần việc tiếp theo là tìm hai lực sao cho vừa cộng đúng lực ngoài vừa thỏa điều kiện chuyển động của bản đầu.
Nối tiếp có một nút giữa riêng
Phương án S đặt đoạn A dài 50 mm trước đoạn B dài 50 mm. Cả hai đoạn đều có tiết diện 100 mm². Đầu trái cố định, đầu phải nhận lực kéo; giữa hai đoạn là một mối nối lý tưởng không thêm độ giãn. Không có lực ngoài đặt vào nút giữa. Khi xét cân bằng kéo một chiều, lực truyền qua A và B có cùng độ lớn. Tổng độ tăng chiều dài lại bằng hai độ giãn riêng cộng lại. Trong trường hợp này, ứng suất hai đoạn bằng nhau vì cả lực và tiết diện đều bằng nhau.
Để kiểm lượng vật liệu, nhân chiều dài với diện tích của từng phần. Ở P, mỗi phần có thể tích 100 nhân 50, bằng 5.000 mm³. Ở S, mỗi phần có thể tích 50 nhân 100, cũng bằng 5.000 mm³. Tổng lượng và kích thước chung đã giữ đúng. Tuy nhiên, hình học của từng phần đã thay đổi giữa hai phương án. Không thể mô tả thao tác này là chỉ xoay hai thanh vật lý rồi vẫn giữ nguyên mọi kích thước của chúng.
Điểm cần khoanh trên sơ đồ là hai nút đầu chung của P và nút giữa của S. Hai đường trông song song trong một bức ảnh chưa đủ để xác định cách chia lực. Ta còn phải biết chúng gắn vào đâu, đầu nối có trượt không và bộ phận giữ đầu có được xoay không. Vì thế, việc vẽ lại sơ đồ với các ràng buộc rõ ràng phải đi trước việc chọn công thức.
3. Giải phương án P từ độ giãn chung
Trước hết, xét riêng một dải dài l, tiết diện s và chịu lực riêng Fᵢ. Lấy lực chia tiết diện được ứng suất; lấy độ giãn δᵢ chia chiều dài được biến dạng. Thay hai định nghĩa này vào luật ứng suất bằng môđun nhân biến dạng, ta tìm được quan hệ giữa lực và độ giãn của dải. Hệ số đứng trước độ giãn là độ cứng kéo của chính dải đã cho hình học, ký hiệu k. Đơn vị của nó là N/mm.
Fᵢ = Eᵢsδᵢ/l; kᵢ = Eᵢs/l. Với P: k_A = 1.000 × 50/100 = 500 N/mm; k_B = 100 × 50/100 = 50 N/mm.
Do bản đầu phải không xoay, hai độ giãn riêng đều bằng độ giãn chung δ. Như vậy, lực trên A bằng 500 nhân δ, còn lực trên B bằng 50 nhân δ. Cộng hai lực để cân bằng lực ngoài, ta có tổng bằng 550 nhân δ. Chia 100 N cho độ cứng tổng này sẽ tìm được độ giãn mà cả hai dải cùng phải đạt. Đến đây mới tính lực trên từng dải, thay vì tự chia lực trước rồi hy vọng hai chuyển vị khớp nhau.
δ_P = 100/550 = 2/11 mm ≈ 0,181818 mm. F_A = 1.000/11 N ≈ 90,909091 N; F_B = 100/11 N ≈ 9,090909 N.
Cùng biến dạng vẫn có thể khác ứng suất
Hai lực vừa tìm cộng lại đúng 100 N. Phần A nhận lực gấp mười lần B vì trong cấu hình này, độ cứng kéo của nó gấp mười lần. Thể tích bằng nhau không buộc lực phải bằng nhau. Có thể hiểu theo chuyển động của bản đầu: để mỗi dải cùng dài thêm một đoạn, dải có môđun lớn hơn cần lực lớn hơn theo luật đang dùng. Kết quả này chưa nói điều gì về phần nào sẽ đứt trước hoặc phần nào phù hợp hơn với một công trình thực tế.
Biến dạng chung bằng độ giãn chia chiều dài 100 mm, tức 1/550, xấp xỉ 0,00181818. Trong khi đó, ứng suất trên A là lực của A chia 50 mm², được 20/11 MPa. Trên B, phép chia tương tự cho 2/11 MPa. Hai ứng suất khác nhau nhưng khi lần lượt chia cho môđun riêng, chúng đều trở về cùng biến dạng. Đây là một phép kiểm độc lập hữu ích: nếu hai kết quả không bằng nhau, lời giải đã vi phạm ràng buộc bản đầu.
Với toàn mẫu, lực tổng chia tiết diện tổng cho ứng suất danh nghĩa 1 MPa. Lấy giá trị này chia biến dạng chung, ta định nghĩa được môđun tương đương của P bằng 550 MPa. Từ “tương đương” ở đây có phạm vi hẹp: một thanh một chiều có cùng chiều dài, tiết diện và môđun ấy sẽ cho cùng độ giãn dưới lực đã xét. Nó không thay thế mọi đặc điểm của hệ hai phần. Nếu vẽ độ giãn phóng đại cho dễ nhìn, hãy ghi rõ hình không theo tỷ lệ biến dạng thật của bài.
4. Giải phương án S từ lực chung
Chuyển sang sơ đồ S, bắt đầu bằng cân bằng tại nút giữa. Vì nút này không nhận thêm lực ngoài, lực mà đoạn A truyền tới phải cân bằng lực đoạn B truyền đi. Độ lớn lực trong cả hai đều bằng 100 N. Không cộng chúng thành 200 N: ta đang theo dõi cùng một lực truyền qua các tiết diện nối tiếp. Mỗi tiết diện rộng 100 mm², nên ứng suất của mỗi đoạn đều bằng 1 MPa. Từ đây, chia cho môđun riêng để tìm hai biến dạng tương đối.
ε_A = 1/1.000 = 0,001; ε_B = 1/100 = 0,01. δ_A = 0,001 × 50 = 0,05 mm; δ_B = 0,01 × 50 = 0,5 mm. δ_S = 0,55 mm.
Đoạn B dài thêm nhiều hơn vì dưới cùng ứng suất, luật đàn hồi đã gán cho nó biến dạng lớn hơn. Mặc dù chỉ chiếm một nửa chiều dài ban đầu, nó đóng góp mười phần trong tổng mười một phần độ giãn. Cách diễn đạt này quan trọng: một nửa chiều dài ban đầu không đồng nghĩa một nửa phần tăng thêm. Nếu tô hai đoạn bằng hai màu trên giấy, nên ghi giá trị tăng thêm riêng cạnh từng đoạn để không nhầm tỷ lệ ban đầu với tỷ lệ sau tính toán.
Theo dõi nút giữa để kiểm lời giải
Đầu trái được giữ tại x bằng không. Nút giữa ban đầu ở 50 mm, sau biến dạng chuyển đến 50,05 mm do đoạn A dài thêm 0,05 mm. Đầu phải đến 100,55 mm. Khoảng cách từ nút giữa mới đến đầu phải mới bằng 50,5 mm, đúng chiều dài ban đầu của B cộng độ giãn của B. Nút giữa không đi thêm một nửa tổng độ giãn. Ba vị trí này tạo thành một phép đối chiếu trực tiếp trên sơ đồ, không phụ thuộc cách làm tròn môđun tương đương.
Biến dạng toàn mẫu S là 0,55 chia 100, bằng 0,0055. Ứng suất danh nghĩa toàn mẫu vẫn là 1 MPa, nên môđun tương đương bằng 2.000/11 MPa, xấp xỉ 181,818182 MPa. Cũng có thể kiểm bằng độ cứng riêng: đoạn A có k bằng 2.000 N/mm, đoạn B có k bằng 200 N/mm. Dưới cùng lực, các độ giãn cộng nhau, nên phải cộng các nghịch đảo độ cứng để tìm độ mềm của toàn hệ.
1/k_S = 1/2.000 + 1/200 = 0,0055 mm/N; k_S = 2.000/11 N/mm. δ_S/δ_P = (11/20)/(2/11) = 121/40 = 3,025.
Với cùng lực, chiều dài, tiết diện chung và lượng mỗi thành phần đã quy định, phương án S giãn gấp 3,025 lần P. Điều kiện so sánh phải đi cùng tỷ số này. Nó không phải hệ số áp dụng cho nhựa thực hoặc vật thể trong ảnh. Riêng bộ kích thước của bài làm cho độ cứng và môđun tương đương tình cờ trùng con số; chúng vẫn khác đơn vị và khác ý nghĩa. Một đại lượng nói về mẫu cụ thể, đại lượng còn lại nằm trong quan hệ ứng suất với biến dạng tương đối.
5. Đổi điều kiện: cùng độ giãn thì cần lực bao nhiêu?
Bây giờ giữ nguyên hai cấu hình nhưng đổi câu hỏi. Ta yêu cầu đầu phải đi thêm 0,2 mm, rồi tìm lực cần có trong mỗi sơ đồ. Đây vẫn là bài tính trên giấy. Với P, độ cứng tổng là 550 N/mm, nhân độ giãn sẽ được lực tổng 110 N. Hai dải cùng giãn 0,2 mm, nên A nhận 100 N và B nhận 10 N. Cộng hai lực riêng lại kiểm được lực tổng, còn chia từng lực cho độ cứng riêng kiểm được chuyển vị chung.
Với S, lấy độ cứng 2.000/11 N/mm nhân 0,2 mm, được lực 400/11 N, xấp xỉ 36,363636 N. Lực ấy truyền qua cả hai đoạn. Độ giãn A bằng 1/55 mm, xấp xỉ 0,0181818 mm; độ giãn B bằng 2/11 mm, xấp xỉ 0,181818 mm. Tổng của chúng đúng 0,2 mm. Lần này dữ kiện đã biết là tổng độ giãn, vì vậy việc hai đoạn nhận những phần tăng chiều dài khác nhau vẫn hoàn toàn phù hợp với điều kiện đầu bài.
Ghi điều kiện so cạnh kết luận
Có thể làm hai thẻ ghi nhớ. Thẻ thứ nhất ghi “cùng lực 100 N”, bên dưới là độ giãn P khoảng 0,181818 mm và S bằng 0,55 mm. Thẻ thứ hai ghi “cùng độ giãn 0,2 mm”, bên dưới là lực P bằng 110 N và S khoảng 36,363636 N. Khi giữ lực, hệ có độ cứng lớn hơn giãn ít hơn. Khi giữ chuyển vị, chính hệ ấy cần lực lớn hơn. Hai kết luận cùng xuất phát từ quan hệ lực bằng độ cứng nhân độ giãn, nên không mâu thuẫn nhau.
Một cách học chắc hơn là cố tình thử lời giải sai. Nếu chia đều lực 100 N cho P, mỗi dải nhận 50 N. Khi đó A chỉ giãn 0,1 mm, còn B giãn 1 mm. Hai đầu phải không thể vừa nằm trên cùng một bản đầu chỉ tịnh tiến, vừa có hai chuyển vị khác nhau như vậy. Lỗi nằm ở việc chọn cách chia lực trước khi xét điều kiện liên kết. Thể tích bằng nhau là dữ kiện về lượng, không phải điều kiện cho phép bỏ qua sự tương thích chuyển vị.
Tương tự, nếu chia đều tổng độ giãn 0,55 mm cho hai đoạn S, mỗi đoạn giãn 0,275 mm. Đoạn A lúc ấy đòi lực 550 N, trong khi B chỉ đòi 55 N. Chênh lệch này không thể cân bằng tại nút giữa khi nơi đó không có lực ngoài. Những phản ví dụ nhỏ giúp tìm đúng chỗ sai trong lập luận. Chỉ nhìn đáp số cuối rồi sửa máy tính sẽ khó nhận ra điều kiện nào đã bị bỏ quên. Lực tính được cũng không được gọi là tải phá hủy hoặc tải cho phép.
6. Tự suy ra hai phép trung bình từ phần thể tích
Sau khi giải trường hợp mỗi phần chiếm một nửa, ta có thể thay tỷ lệ mà vẫn giữ cách đặt điều kiện. Gọi f là phần thể tích của A, còn B chiếm một trừ f. Trong P, hai dải cùng dài L, vì vậy tiết diện A bằng f nhân S và tiết diện B bằng một trừ f nhân S. Dùng chung độ giãn, viết lực từng dải rồi cộng lại. Hệ số tương đương thu được là tổng môđun riêng có trọng số theo phần thể tích.
E_P = fE_A + (1 − f)E_B.
Trong S, hai đoạn cùng tiết diện S. Muốn A chiếm phần thể tích f, chiều dài A phải bằng f nhân L; chiều dài B bằng một trừ f nhân L. Lực chung được chia cho độ cứng của từng đoạn để tìm độ giãn, sau đó cộng hai độ giãn. Khi quy tổng ấy về biến dạng toàn mẫu, kết quả dẫn đến phép trung bình của các nghịch đảo môđun. Ta chỉ đảo kết quả sau khi đã cộng đúng các số hạng.
1/E_S = f/E_A + (1 − f)/E_B.
Thử tỷ lệ một phần năm và kiểm hai đầu mút
Chọn f bằng 0,2, nghĩa là A chiếm một phần năm thể tích. Ở P, môđun tương đương là 0,2 nhân 1.000 cộng 0,8 nhân 100, được 280 MPa. Ở S, nghịch đảo môđun bằng 0,2 chia 1.000 cộng 0,8 chia 100, được 0,0082 trên MPa. Đảo lại cho 5.000/41 MPa, xấp xỉ 121,95122 MPa. Nếu vẫn dùng lực 100 N cùng chiều dài và tiết diện tổng ban đầu, P giãn 5/14 mm, khoảng 0,357143 mm; S giãn 0,82 mm.
Tỷ lệ đang dùng là tỷ lệ thể tích. Không thay nó bằng tỷ lệ khối lượng khi chưa có khối lượng riêng của từng thành phần. Chẳng hạn, việc thấy một lượng chất lỏng được rót trong ảnh không cho biết phần thể tích của hai đoạn rắn trong sơ đồ. Bài đã định nghĩa lượng bằng kích thước hình học trước biến dạng. Giữ đúng định nghĩa ấy giúp tránh biến một bài toán liên kết thành một công thức pha vật liệu mà dữ kiện không hề cung cấp.
Tiếp theo, cho f bằng không: toàn bộ mô hình chỉ còn B, nên cả hai biểu thức phải cho 100 MPa. Cho f bằng một: toàn bộ chỉ còn A, nên cả hai phải cho 1.000 MPa. Nếu đặt hai môđun riêng bằng nhau, hai biểu thức cũng phải trở về đúng giá trị chung đó với mọi tỷ lệ. Các phép thử này có thể bắt lỗi đảo số hoặc nhầm trọng số rất nhanh. Chúng kiểm công thức trong mô hình đã dựng, không chứng minh một giới hạn phổ quát cho mọi cấu trúc composite thực và mọi kiểu tác động.
7. Hoàn thành một trang kết quả có thể tự kiểm
Trang kết quả nên có hai sơ đồ, kích thước riêng của từng phần, mũi tên lực và vị trí các nút. Cạnh P, viết bằng lời: chung độ giãn, các lực cộng lại. Cạnh S, viết: chung lực, các độ giãn cộng lại. Sau đó kiểm hai tổng thể tích, mỗi tổng gồm 5.000 cộng 5.000 mm³. Kiểm tiếp lực của P bằng cách cộng hai nhánh, và lực của S bằng cách lần qua hai đoạn. Hai cách kiểm lực khác nhau phản ánh đúng hai kiểu nối đã chọn.
Những giả thiết cần giữ cùng trang gồm đàn hồi tuyến tính một chiều, bản đầu lý tưởng cứng, liên kết hoàn hảo và chuyển động dọc trục. Không xét độ mềm của mối nối, trượt, hở, biến dạng ngang hay vùng ứng suất phức tạp gần chỗ đổi thành phần. Riêng kết luận cùng ứng suất trong S còn dùng điều kiện hai đoạn có tiết diện bằng nhau. Nếu thay một điều kiện, cần lập lại bài toán từ cân bằng và chuyển động, thay vì giữ nguyên kết quả rồi gắn vào hình mới.
Phân biệt môđun, độ cứng và độ bền
Môđun E xuất hiện trong luật vật liệu giả định. Độ cứng k bằng lực chia độ giãn còn phụ thuộc hình học của mẫu. Để thấy chúng khác nhau, giữ môđun và tiết diện nhưng tăng chiều dài một dải lên gấp đôi: theo công thức k bằng E nhân diện tích chia chiều dài, độ cứng giảm một nửa. Môđun không vì thế giảm một nửa. Trong khi đó, độ bền hoặc thời điểm hư hỏng cần dữ kiện khác mà bài chưa đặt ra. Một phép tính giãn nhỏ không tự cung cấp các giới hạn ấy.
Khi trở lại với tạo hình, ích lợi của bài là thói quen hỏi về cách nối trước khi suy luận từ hình dáng. Hai nét thẳng cạnh nhau có thể chỉ là chi tiết thị giác. Hai vùng cùng màu cũng chưa chứng minh chúng có cùng môđun. Muốn sử dụng một quan hệ lực và độ giãn, cần nêu được đầu nào giữ cố định, đầu nào chuyển động và lực ngoài xuất hiện ở đâu. Một sơ đồ giản lược nhưng có điều kiện đầy đủ sẽ trả lời được câu hỏi mà một hình đẹp chưa đủ dữ kiện để trả lời.
Kết quả cuối cùng của bài là sự khác nhau có thể tính được giữa hai cấu hình cùng lượng A và B. Người đọc đã tìm được độ giãn, lực riêng, vị trí nút giữa và cách đổi phép so khi biết trước chuyển vị. Các bước ấy tạo thành một lời giải khép kín trên giấy. Hình ảnh dự án có thể tiếp tục gợi ý về đường nét và bố trí bộ phận, còn những hệ số vừa tính vẫn thuộc bài toán giả định này, không phải thông số kiểm nghiệm của công trình trong ảnh.
Tham khảo thêm tại Mô Hình Điêu Khắc, xem các dự án tạo hình hoặc gửi ý tưởng qua trang liên hệ. Điện thoại: 0965536866. Email: mohinhdieukhac@gmail.com.
Nhận xét
Đăng nhận xét