Khái niệm điêu khắc qua ba bóng giống nhau và những khối khác thể tích

Hình khối và đường bao cung cấp những thông tin khác nhau

Một cách tiếp cận khái niệm điêu khắc là quan sát hình thể chiếm chỗ trong không gian. Nhưng từ hình thể sang hình ảnh, một phần thông tin có thể bị mất. Thử đặt câu hỏi cụ thể: nếu ba bóng nhìn từ trước, từ bên và từ trên đều là hình vuông kín, liệu các khối tạo ra chúng có nhất thiết bằng nhau về thể tích? Với quy tắc chiếu dưới đây, câu trả lời là không.

Trong tài liệu The Elements of Art: Form, National Gallery of Art giới thiệu hình thể có ba chiều và dùng điêu khắc để quan sát yếu tố này. Bài viết sẽ tập trung vào một khía cạnh nhỏ của hình thể: mối quan hệ giữa phần có khối và phần được ghi lại trên một mặt phẳng. Đây là bài tập hình học, không nhằm giải thích toàn bộ giá trị nghệ thuật của tác phẩm.

Ta dùng từ silhouette để chỉ vùng hình được tô kín bằng hai trạng thái: có khối trên đường chiếu thì tô đen, không có thì để trắng. Các đường chiếu song song với nhau. Bóng này không ghi màu sắc, đường cạnh nằm bên trong hay độ sâu của bề mặt. Vì thế, ba silhouette trong bài khác về loại dữ liệu so với ba ảnh chụp hoặc ba bản vẽ kỹ thuật đầy đủ.

Khối dạng hộp trong ảnh từ Mô Hình Điêu Khắc gợi một điểm bắt đầu dễ hình dung. Ta sẽ tự quy định các khối lập phương nhỏ để tính toán, thay vì đo kích thước hoặc đoán phần đặc, rỗng của vật trong ảnh. Sau khi xếp và đếm, người đọc có thể kiểm chứng vì sao cùng một bộ bóng lại phù hợp với ba thể tích khác nhau.

Một khối dạng hộp màu sáng đặt cạnh nhân vật và các hình cong trong xưởng. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Xếp hai lớp và gọi tên chính xác ô bị bỏ

Một ô có địa chỉ trong không gian

Chọn chiều trái sang phải là trục x, chiều trước ra sau là trục y và chiều dưới lên trên là trục z. Mỗi ô là một khối lập phương cạnh một đơn vị. Địa chỉ (i, j, k) cho biết ô kéo dài từ i đến i + 1 theo x, từ j đến j + 1 theo y, từ k đến k + 1 theo z. Trong bài, mỗi chỉ số chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1.

Khối A có hai lớp đầy đủ. Lớp dưới gồm bốn ô (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0). Lớp trên gồm bốn ô (0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Chúng ghép sát nhau, tạo thành một khối lập phương có khổ bao 2 × 2 × 2. Các địa chỉ chỉ vị trí từng ô, không phải tám điểm rời rạc.

Để dựng khối B, giữ nguyên lớp dưới và bỏ ô trên, phía trước, bên trái: (0, 0, 1). Lớp trên còn ba ô (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Không kéo các ô còn lại vào chỗ trống. Cũng không đổi gốc tọa độ, vì ta cần so sánh hai cách xếp trong cùng một khung không gian.

Có thể làm hoàn toàn trên giấy

Nếu có tám khối nhỏ đồng dạng, bạn có thể xếp thấp thành hai lớp trên bàn rồi nhấc một khối ở góc trên ra. Mọi ô còn lại ở lớp trên đều có ô lớp dưới đỡ. Không cần cắt vật liệu, dùng keo hoặc thử tải. Cách khác là vẽ hai lưới 2 × 2, ghi rõ lớp dưới và lớp trên, rồi gạch bỏ đúng ô đã nêu. Đơn vị cạnh do bài tập chọn, không lấy từ ảnh minh họa.

Tô ba hình chiếu bằng luật có ít nhất một ô trên tia

Mỗi hướng chỉ giữ lại hai tọa độ

Trước hết, nhìn theo chiều trước ra sau, tức dọc trục y. Màn hình chiếu ghi vị trí ngang x và cao z. Với mỗi ô vuông trên màn, ta kiểm tra cả hai vị trí trước, sau ở cùng x và z. Chỉ cần một trong hai có khối là tô đen ô màn đó. Nếu cả hai cùng có khối, kết quả vẫn chỉ là một ô đen, không đậm hơn hay lớn hơn.

Khi chiếu dọc trục x, ta kiểm tra hai vị trí trái, phải và giữ tọa độ y, z trên màn. Khi chiếu dọc trục z, ta kiểm tra hai vị trí dưới, trên và giữ tọa độ x, y. Như vậy, mỗi phép chiếu bỏ đi một tọa độ cùng thông tin phân bố khối theo chiều đó. Đây là phép ghi có hoặc không, không phải phép cộng độ dài vật trên tia như một dạng dữ liệu xuyên qua vật.

Với A, cả ba màn đều được tô kín bốn ô thành hình vuông 2 × 2. Mỗi ô màn có tới hai ô không gian nằm dọc đường chiếu tương ứng. Bây giờ xét B. Điểm cần kiểm tra là những đường chiếu từng đi qua ô vừa bỏ; các đường còn lại không bị thay đổi.

Ba ô còn lại bảo toàn ba dấu đen

Ở hướng trước ra sau, ô đã bỏ (0, 0, 1) nằm trước ô (0, 1, 1). Ô phía sau vẫn còn, nên vị trí x = 0, z = 1 trên màn vẫn đen. Ở hướng trái sang phải, ô (1, 0, 1) tiếp tục giữ dấu đen tại vị trí y = 0, z = 1. Ở hướng từ trên xuống, ô dưới (0, 0, 0) giữ dấu đen tại vị trí x = 0, y = 0.

Bởi vậy, cả ba silhouette của B cũng kín bốn ô, mỗi hình có diện tích 4 đơn vị vuông. Ô không gian bị bỏ đã làm giảm phần có khối, nhưng không làm xuất hiện ô trắng nào trên ba màn. Lý do nằm ở những ô cụ thể cùng đường chiếu, chứ không phải cảm giác hai vật trông gần giống nhau. Nếu bản vẽ ghi thêm cạnh của chỗ khuyết, dữ liệu ấy đã vượt ra ngoài luật tô nhị phân đang dùng.

Bạn có thể tự kiểm bằng hai ký hiệu 0 và 1. Ở một đường chiếu, A có hai vị trí cùng mang số 1, còn B có thể chỉ còn một vị trí mang số 1. Nếu đầu ra hỏi có ít nhất một số 1 hay không, cả hai đều trả lời có. Nếu đầu ra hỏi tổng có bao nhiêu số 1, chúng lại cho 2 và 1. Sự khác biệt đến từ câu hỏi được ghi trên màn, không phải từ độ chính xác của phép đếm.

Đếm thể tích rồi kiểm vì sao diện tích biên cũng giữ nguyên

Mỗi ô nhỏ có thể tích 1 × 1 × 1 = 1 đơn vị khối. A có tám ô nên thể tích bằng 8; B có bảy ô nên thể tích bằng 7. Cả hai vẫn có khổ bao 2 × 2 × 2, nhưng khổ bao chỉ là chiếc hộp vừa chứa hình. Ở B, một phần bên trong chiếc hộp ấy không còn thuộc khối. Lấy tích ba kích thước bao làm thể tích B sẽ đếm cả phần vừa bỏ.

Bỏ một góc làm mất ba mặt và lộ ba mặt

Tiếp theo, tính diện tích toàn bộ biên của khối ghép. Ta tính cả mặt đáy, kể cả khi mô hình đang đặt trên bàn, và không tính những mặt bị kẹp giữa hai ô tiếp giáp. A là lập phương cạnh 2 nên có diện tích biên 6 × 4 = 24 đơn vị vuông. Ô góc bị bỏ vốn đóng góp ba mặt ngoài: phía trước, bên trái và phía trên.

Khi nhấc ô góc ấy đi, ba mặt ngoài biến mất. Đồng thời, ba mặt trước đó áp sát nó trở thành mặt biên: mặt trên của ô bên dưới, mặt trước của ô phía sau và mặt trái của ô bên phải. Mỗi mặt đều có diện tích một đơn vị vuông. Kết quả cho B là 24 − 3 + 3 = 24. Diện tích được giữ nguyên dù cách phân bố các mặt đã thay đổi.

Có thể kiểm lại bằng cách đếm mặt chung. A có 12 cặp ô chung mặt, nên tổng là 8 × 6 − 2 × 12 = 24. B còn 9 cặp, cho 7 × 6 − 2 × 9 = 24. Phải trừ hai lần mỗi mặt chung vì phép nhân ban đầu đã tính một mặt của từng ô. Đây là diện tích biên hình học của mô hình lý tưởng; nó không phải số đo diện tích đang thấy trên ảnh hay dự toán lượng sơn.

Để kiểm con số 12 cặp của A, hãy đếm theo từng chiều: bốn cặp trái, phải; bốn cặp trước, sau; bốn cặp dưới, trên. Bỏ ô góc đầu tiên làm mất ba cặp liên quan đến nó, nên B còn chín. Cách đếm này cũng giải thích vì sao các ô chỉ chạm nhau ở cạnh hoặc ở đỉnh không bị trừ diện tích mặt chung.

Bổ sung bản đồ cao độ để phân biệt hai khối

Cùng nhìn từ trên xuống, ta có thể thay đổi câu hỏi dành cho mỗi ô màn. Thay vì chỉ hỏi có khối hay không, hãy ghi độ cao của mặt trên so với đáy z = 0. Với A, cả bốn cột đều cao 2. Ghi hàng phía trước trước, hàng phía sau sau, và đọc mỗi hàng từ trái sang phải, ta được [2, 2] rồi [2, 2].

Ở B, cột trước bên trái chỉ còn ô lớp dưới nên cao 1. Ba cột kia vẫn cao 2. Bản đồ trở thành [1, 2] rồi [2, 2]. Chỉ một con số khác đã phân biệt được A và B. Tổng bốn độ cao cũng cho 8 và 7 trong ví dụ này, bởi mỗi cột có đáy diện tích một và được lấp liền từ dưới lên. Điều kiện về cột đầy là phần cần giữ khi dùng phép cộng đó.

Một lát cắt vẽ cũng giữ được thông tin hữu ích

Hãy hình dung một mặt phẳng ngang ở z = 1,5, đi qua giữa lớp trên. Sơ đồ phần khối giao với mặt phẳng này có bốn ô ở A và ba ô ở B. Bạn chỉ cần vẽ lại lớp trên; không phải cắt một vật thật. Hoặc quan sát B từ góc trên, phía trước, bên trái: bậc lõm có thể lộ ra, dù ba silhouette theo các trục đã quy định vẫn giống A.

Ảnh hoa hồng dưới đây có các mép cánh bên trong và nhiều vùng sáng tối. Những dấu hiệu ấy đều bị xóa nếu chỉ giữ silhouette tô kín. Chúng giúp thấy vì sao ảnh thực có thể chứa thông tin phong phú hơn một bóng nhị phân. Tuy nhiên, riêng ảnh này không cung cấp thước đo chiều sâu; bài tập chỉ vừa chỉ ra một loại dữ liệu bổ sung đủ để phân biệt hai khối đã dựng.

Cận cảnh các cánh hoa hồng màu hồng, có bàn tay giữ cọ gần một mép cánh. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Thử khối thứ ba và kiểm lại từng điều kiện

Từ B, bỏ tiếp ô trên, phía sau, bên phải (1, 1, 1) để có C. Lớp dưới vẫn gồm cả bốn ô. Lớp trên chỉ còn (1, 0, 1) và (0, 1, 1), nằm ở hai vị trí chéo nhau trên lưới. C có sáu ô, nên thể tích bằng 6. Hai ô trên vẫn được đỡ bởi các ô dưới tương ứng.

Xét hướng trước ra sau: ô trên bên trái phía sau giữ vị trí x = 0, z = 1; ô trên bên phải phía trước giữ vị trí x = 1, z = 1. Xét hướng trái sang phải: hai ô trên nằm ở hai hàng trước, sau khác nhau nên giữ đủ cả hai vị trí cao trên màn y, z. Hàng thấp của hai màn đều đã có lớp dưới đầy. Nhìn từ trên xuống, lớp dưới cũng giữ đủ bốn vị trí x, y. Ba silhouette của C vẫn kín như A và B.

Thể tích 6 là một ví dụ, không phải lời giải tối ưu

Ô thứ hai bị bỏ không chung mặt với ô đã bỏ lần đầu. Ngay trước khi bỏ nó, ô này có ba mặt ngoài và còn ba ô láng giềng chung mặt. Vì vậy, phép tính diện tích biên lại là 24 − 3 + 3 = 24. Đếm độc lập, C có sáu cặp ô chung mặt, cho 6 × 6 − 2 × 6 = 24. Bản đồ cao độ của C là [1, 2] rồi [2, 1]; lát cắt ở z = 1,5 còn hai ô.

Ba ví dụ đã đủ bác bỏ ý nghĩ rằng bộ ba silhouette ấy buộc thể tích phải duy nhất. Ta chưa chứng minh sáu ô là số lượng nhỏ nhất, và cũng không cần khẳng định điều đó. Vùng mở trong ảnh vỏ ốc cho thấy thêm các dải và thanh bên trong một tạo hình. Vai trò của ảnh là gợi cách trình bày thông tin nội bộ; nó không phải mô hình C hay bằng chứng cho các con số của bài.

Tạo hình vỏ ốc màu sáng có vùng mở nhìn thấy các dải và thanh bên trong trên bệ đen. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Nếu muốn kiểm riêng ô vừa bỏ của C, hãy lần theo ba ô thay thế trên tia: (0, 1, 1) ở hướng x, (1, 0, 1) ở hướng y và (1, 1, 0) ở hướng z. Cả ba vẫn có mặt trong C. Đây cũng là cách phát hiện lỗi xếp nhầm: chỉ cần một tia mất hết ô, silhouette tương ứng sẽ xuất hiện một vị trí trắng.

Dùng đúng loại thông tin khi đọc một tạo hình mới

Kết quả có thể ghi gọn thành ba dòng: A có thể tích 8 và diện tích biên 24; B có thể tích 7 và diện tích biên 24; C có thể tích 6 và diện tích biên 24. Mỗi dòng đều đi kèm ba silhouette diện tích 4. Giữ thêm sơ đồ hai lớp để bất cứ ai cũng có thể lần ngược từ các con số về vị trí ô, thay vì chỉ tin vào kết luận.

Điểm quan trọng là biết dữ liệu đang trả lời câu hỏi nào. Silhouette ghi vùng bị khối che theo một hướng. Bản đồ cao độ ghi mặt trên nằm ở đâu. Lát cắt ghi phần khối tại một mức xác định. Với bài này, hai loại sau phân biệt được các hình mà loại đầu đã gộp lại. Điều ấy không có nghĩa mọi góc nhìn đều vô ích hoặc một bộ ảnh bất kỳ chắc chắn đủ để tái dựng chính xác vật thể.

Khi xem các hình thể trong dự án, hãy thử chỉ rõ phần bạn đang quan sát: đường bao, bậc mặt, vùng mở hay quan hệ trước sau. Hai hình vỏ sò trong ảnh có nhiều phần và mép cong, nhưng đường bao nhìn thấy chưa cho tổng thể tích. Thói quen gọi đúng thông tin giúp cuộc trao đổi về hình trở nên cụ thể hơn: một vùng đen đang giữ lại điều gì, và điều gì đã bị lược bỏ?

Hai tạo hình vỏ sò mở màu xanh và hồng, cùng một tạo hình đuôi cá phía sau. Nguồn: mohinhdieukhac.vn.

Nếu muốn trao đổi ý tưởng tạo hình và dữ liệu hình học đang có, bạn có thể xem trang liên hệ, gọi 0965536866 hoặc viết tới mohinhdieukhac@gmail.com.